已知数列的前项和为，，满足．（1）计算，猜想的一个表达式（不

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已知数列的前项和为，，满足．
（1）计算，猜想的一个表达式（不需要证明）
（2）设，数列的前项和为，求证：．

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某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 $m$ ，并将完成生产任务所需时间超过 $m$ 和不超过 $m$ 的工人数填入下面的列联表：

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附： $K^{2} = \frac{n {(ad - bc)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

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等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{5} = 4 a_{3}$ ．

（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

（2）记 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{m} = 63$ ，求 $m$ ．

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已知函数 $f (x) = \sqrt{x} - \ln x$ ．

（Ⅰ）若f(x)在x=x ₁，x ₂(x ₁≠x ₂)处导数相等，证明：f(x ₁)+f(x ₂)>8−8ln2；

（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．

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如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y ²=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

（Ⅱ）若P是半椭圆x ²+ $\frac{y^{2}}{4}$ =1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．

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已知等比数列{a_n}的公比q>1，且a₃+a₄+a₅=28，a₄+2是a₃，a₅的等差中项．数列{b_n}满足b₁=1，数列{（b_n₊₁−b_n）a_n}的前n项和为2n²+n．

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式．

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