（本小题满分12分）某厂生产一种产品的固定成本（即固定投入）

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分12分）某厂生产一种产品的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产一百件这样的产品，需要增加可变成本（即另增加投入）0.25万元. 市场对此产品的年需求量为500件，销售的收入函数为（单位：万元），其中是产品售出的数量（单位:百件）.
（Ⅰ）该公司这种产品的年产量为百件，生产并销售这种产品所得到的利润为当年产量
的函数，求；
（Ⅱ）当年产量是多少时，工厂所得利润最大？
（Ⅲ）当年产量是多少时，工厂才不亏本？

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对于给定首项 $x_{0} > \sqrt[3]{a} (a > 0)$ ，由递推公式 $x_{n - 1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \sqrt{\frac{a}{x_{n}}}) (n \in N)$ 得到数列 ${x_{n}}$ ，对于任意的 $n \in N$ ，都有 $x_{8} > \sqrt[3]{a}$ ，用数列 ${x_{n}}$ 可以计算 $\sqrt[3]{a}$ .

（1）取 $x_{0} = 5, a = 100$ ，计算 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 的值（精确到0．01）；归纳出 $x_{n}, x_{n + 1}$ 的大小关系；
（2）当 $n \geq 1$ 时，证明： $x_{n} - x_{n + 1} < \frac{1}{2} (x_{n - 1} - x_{n})$ .

（3）当 $x_{0} \in [5, 10]$ 时，用数列 ${x_{n}}$ 计算 $\sqrt[3]{100}$ 的近似值，要求 $|x_{n} - x_{n + 1}| < 10^{- 4}$ ，请你估计 $n$ ，并说明理由

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（1）已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x, x \geq 0 \\ \frac{1}{2} x, x < 0 \end{matrix}$ ，证明： $f (x) \in M$ ；
（2）写出一个函数 $f (x)$ ，使得 $f (x) \notin M$ ，并说明理由；
（3）写出一个函数 $f (x) \in M$ ，使得数列极限 $\underset{n \to \infty}{l i m} \frac{f (n)}{n^{2}} = 1, \underset{n \to \infty}{l i m} \frac{f (- n)}{- n} = 1$ .

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（2）请你给出一个以 $P (2, 1)$ 为顶点、其余各顶点均为抛物线 $F$ 上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由

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