定义域为 $R$，且对任意实数 $x_1,x_2$都满足不等式 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le \frac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}{2}$的所有函数 $f\left(x\right)$组成的集合记为 $M$，例如，函数 $f\left(x\right)=kx+b\in M$.
（1）已知函数 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}x,x\ge 0\\ \frac{1}{2}x,x<0\end{array}$，证明： $f\left(x\right)\in M$；
（2）写出一个函数 $f\left(x\right)$，使得 $f\left(x\right)\notin M$，并说明理由；
（3）写出一个函数 $f\left(x\right)\in M$，使得数列极限 $\underset{n\to \infty }{lim}\frac{f\left(n\right)}{n^2}=1,\underset{n\to \infty }{lim}\frac{f(-n)}{-n}=1$.