（本小题满分12分）已知函数，其中是实数，设，为该函数图象上

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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（本小题满分12分）已知函数，其中是实数，设，为该函数图象上的两点，且．
（1）若函数的图象在点，处的切线互相垂直，且，求的取值范围；
（2）若时，的图象在点，处的切线重合，求的取值范围．
（注：函数的导函数是，其中）

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(本小题满分13分)
已知函数
（1）求；
（2）已知数列满足,,求数列的通项公式；
（3）求证:.

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(本小题满分13分)已知直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的
底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F为棱BB₁的中点，
M为线段AC₁的中点. （1）求证：直线MF∥平面ABCD；
（2）求证：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；
（3）求平面AFC₁与与平面ABCD所成二面角的大小.

题型：未知
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设 $m$ 个不全相等的正数 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{m} (m \geq 7)$ 依次围成一个圆圈。
（Ⅰ）若 $m = 2009$ ，且 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{1005}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，而 $a_{1}, a_{2009}, a_{2004}, . . ., a_{1005}$ 是公比为 $q = d$ 的等比数列；数列 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{m}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} (n \leq m)$ 满足： $S_{3} = 15, S_{2009} = S_{2007} + 12 a_{1}$ ，求通项 $a_{n} (n \leq m)$ ；
（Ⅱ）若每个数 $a_{n} (n \leq m)$ 是其左右相邻两数平方的等比中项，求证： $a_{1} + . . . + a_{5} + {a_{7}}^{2} + . . . + {a_{m}}^{2} > m a_{1} a_{2} a_{m}$ 。

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已知以原点 $O$ 为中心的椭圆的一条准线方程为 $y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ,离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $M$ 是椭圆上的动点.
（Ⅰ）若 $C, D$ 的坐标分别是 $(0, - \sqrt{3}), (0, \sqrt{3})$ ,求 $|M C| \cdot |M D|$ 的最大值；
（Ⅱ）如图,点 $A$ 的坐标为 $(1, 0)$ , $B$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的点, $N$ 是点 $M$ 在 $x$ 轴上的射影,点 $Q$ 满足条件: $\overset{⇀}{O Q} = \overset{⇀}{O M} + \overset{⇀}{O N}, \overset{⇀}{Q A} \cdot \overset{⇀}{B A} = 0$ ,求线段 $Q B$ 的中点 $P$ 的轨迹方程.

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如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ 且 $A D ⊥ C D$ ；平面 $C S D$ $⊥$ 平面 $A B C D$ ， $C S ⊥ D S, C S = 2 A D = 2$ ； $E$ 为 $B S$ 的中点， $C E = \sqrt{2}, A S = \sqrt{3}$ 。求：

（Ⅰ）点 $A$ 到平面 $B C S$ 的距离；
（Ⅱ）二面角 $E - C D - A$ 的大小。

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