定义：对于任何数a，符号a表示不大于a的最大整数．例如：5.

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[-1.5]=-2．
（1）[-π]= ；
（2）如果[a]=2，那么a的取值范围是；
（3）如果[]=-5，求满足条件的所有整数x；
（4）直接写出方程6x-3[x]+7=0的解．

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在平面直角坐标系中， $P （ a ， b ）$ 是第一象限内一点，给出如下定义： $k_{1} = \frac{a}{b}$ 和 $k_{2} = \frac{b}{a}$ 两个值中的最大值叫做点 $P$ 的“倾斜系数” $k$ ．

（1）求点 $P （ 6 ， 2 ）$ 的“倾斜系数” $k$ 的值；

（2）①若点 $P （ a ， b ）$ 的“倾斜系数” $k ＝ 2$ ，请写出 $a$ 和 $b$ 的数量关系，并说明理由；

②若点 $P （ a ， b ）$ 的“倾斜系数” $k ＝ 2$ ，且 $a + b ＝ 3$ ，求 $O P$ 的长；

（3）如图，边长为 $2$ 的正方形 $A B C D$ 沿直线 $A C ： y ＝ x$ 运动， $P （ a ， b ）$ 是正方形 $A B C D$ 上任意一点，且点 $P$ 的“倾斜系数” $k ＜ \sqrt{3}$ ，请直接写出 $a$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A B$ 是直径， $O D ⊥ O C$ ，连接 $A D$ ， $∠ A D O ＝ ∠ B O C$ ， $A C$ 与 $O D$ 相交于点 $E$ ．

（1）求证： $A D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $t a n ∠ O A C = \frac{1}{2}$ ， $A D = \frac{3}{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

题型：未知
难度：未知

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如图，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} （ x ＞ 0 ）$ 的图象上， $A B ⊥ x$ 轴，垂足为 $B （ 3 ， 0 ）$ ，过 $C （ 5 ， 0 ）$ 作 $C D ⊥ x$ 轴，交过 $B$ 点的一次函数 $y = \frac{3}{2} x + b$ 的图象于D点，交反比例函数的图象于 $E$ 点， $S_{△ A O B} ＝ 3$ ．

（1）求反比例函数 $y = \frac{k}{x} （ x ＞ 0 ）$ 和一次函数 $y = \frac{3}{2} x + b$ 的表达式；

（2）求 $D E$ 的长．

题型：未知
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掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度 $y （ m ）$ 与水平距离 $x （ m ）$ 之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为 $\frac{5}{3} m$ ，当水平距离为 $3 m$ 时，实心球行进至最高点 $3 m$ 处．

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于 $6.70 m$ ，此项考试得分为满分 $10$ 分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B ＝ 90 ° ， A C ＝ 3 c m ， B C ＝ 4 c m$ ， $M$ 为 $A B$ 边上一动点， $B N ⊥ C M$ ，垂足为 $N$ ．设 $A ， M$ 两点间的距离为 $x c m （ 0 \leq x \leq 5 ）$ ， $B ， N$ 两点间的距离为 $y c m$ （当点 $M$ 和 $B$ 点重合时， $B ， N$ 两点间的距离为 $0$ ）．

小明根据学习函数的经验，对因变量 $y$ 随自变量 $x$ 的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整．

（1）列表：下表的已知数据是根据 $A ， M$ 两点间的距离 $x$ 进行取点、画图、测量，分别得到了 $y$ 与 $x$ 的几组对应值：

$x / c m$	$0$	$0.5$	$1$	$1.5$	$1.8$	$2$	$2.5$	$3$	$3.5$	$4$	$4.5$	$5$
$y / c m$	$4$	$3.96$	$3.79$	$3.47$	$a$	$2.99$	$2.40$	$1.79$	$1.23$	$0.74$	$0.33$	$0$

请你通过计算，补全表格： $a ＝$ ＿＿＿＿＿；

（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点 $（ x ， y ）$ ，并画出函数 $y$ 关于 $x$ 的图象；

（3）探究性质：随着自变量 $x$ 的不断增大，函数 $y$ 的变化趋势：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（4）解决问题：当 $B N ＝ 2 A M$ 时， $A M$ 的长度大约是＿＿＿＿＿ $c m$ ．（结果保留两位小数）

题型：未知
难度：未知

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