有两个熟练工人甲和乙，他们每小时分别制作零件a件，b件，现要赶制一批零件，若甲单独完成任务需要m小时，如果甲、乙两人同时工作，那么比甲单独完成任务提前多长时间？
关于 的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求实数 的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为 、 ，存不存在这样的实数 ，使得 ？若存在，求出这样的 值；若不存在，说明理由．
学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．
在相距150个单位长度的直线跑道 上，机器人甲从端点 出发，匀速往返于端点 、 之间，机器人乙同时从端点 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点 、 之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
（观察）
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度；
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度；
（发现）
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度．兴趣小组成员发现了 与 的函数关系，并画出了部分函数图象（线段 ，不包括点 ，如图2所示）．
① ；
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；
（拓展）
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度．
若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离 不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离 的取值范围是 ．（直接写出结果）
如图，二次函数 图象的顶点为 ，对称轴是直线 ，一次函数 的图象与 轴交于点 ，且与直线 关于 的对称直线交于点 ．
（1）点 的坐标是 ；
（2）直线 与直线 交于点 ， 是线段 上一点（不与点 、 重合），点 的纵坐标为 ．过点 作直线与线段 、 分别交于点 、 ，使得 与 相似．
①当 时，求 的长；
②若对于每一个确定的 的值，有且只有一个 与 相似，请直接写出 的取值范围 ．
（材料阅读）
地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的 ．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角 的大小是变化的．
（实际应用）
观测点 在图1所示的 上，现在利用这个工具尺在点 处测得 为 ，在点 所在子午线往北的另一个观测点 ，用同样的工具尺测得 为 ． 是 的直径， ．
（1）求 的度数；
（2）已知
，求这两个观测点之间的距离即
上
的长．
取
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