为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环 与水平地面相切于点 ，推杆 与铅垂线 的夹角为 ，点 在同一平面内．当推杆 与铁环 相切于点 时，手上的力量通过切点 传递到铁环上，会有较好的启动效果．
（1）求证： ．
（2）实践中发现，切点 只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点 是该区域内最低位置，此时点 距地面的距离 最小，测得 ．已知铁环 的半径为 ，推杆 的长为 ，求此时 的长．
小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头 距地面 ，水柱在距喷水头 水平距离 处达到最高，最高点距地面 ；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 ，其中 是水柱距喷水头的水平距离， 是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的表达式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头 水平距离 ．身高 的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆 种菜苗的价格是菜苗基地的 倍，用 元在市场上购买的 种菜苗比在菜苗基地购买的少 捆．
（1）求菜苗基地每捆 种菜苗的价格．
（2）菜苗基地每捆 种菜苗的价格是 元．学校决定在菜苗基地购买 两种菜苗共 捆，且 种菜苗的捆数不超过 种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对 两种菜苗均提供 折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁 的高度，如图，在 处用测角仪测得拂云阁顶端 的仰角为 ，沿 方向前进 到达 处，又测得拂云阁顶端 的仰角为 ．已知测角仪的高度为 ，测量点 与拂云阁 的底部 在同一水平线上，求拂云阁 的高度（结果精确到 ．参考数据： ）．
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