提出问题：如图①，在正方形ABCD中，点P，F分别在边BC、

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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提出问题：如图①，在正方形ABCD中，点P，F分别在边BC、AB上，若AP⊥DF于点H，则AP=DF．类比探究：
（1）如图②，在正方形ABCD中，点P、F．、G分别在边BC、AB、AD上，若GP⊥DF于点H，探究线段GP与DF的数量关系，并说明理由；
（2）如图③，在正方形ABCD中，点P、F、G分别在边BC、AB、AD上，GP⊥DF于点H，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF，若四边形DFEP为菱形，探究DG和PC的数量关系，并说明理由．

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如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx$ 与 $x$ 轴分别交于原点 $O$ 和点 $F (10, 0)$ ，与对称轴 $l$ 交于点 $E (5, 5)$ ．矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 在 $x$ 轴正半轴上，且 $AB = 1$ ，边 $AD$ ， $BC$ 与抛物线分别交于点 $M$ ， $N$ ．当矩形 $ABCD$ 沿 $x$ 轴正方向平移，点 $M$ ， $N$ 位于对称轴 $l$ 的同侧时，连接 $MN$ ，此时，四边形 $ABNM$ 的面积记为 $S$ ；点 $M$ ， $N$ 位于对称轴 $l$ 的两侧时，连接 $EM$ ， $EN$ ，此时五边形 $ABNEM$ 的面积记为 $S$ ．将点 $A$ 与点 $O$ 重合的位置作为矩形 $ABCD$ 平移的起点，设矩形 $ABCD$ 平移的长度为 $t (0 ⩽ t ⩽ 5)$ ．

（1）求出这条抛物线的表达式；

（2）当 $t = 0$ 时，求 $S_{ΔOBN}$ 的值；

（3）当矩形 $ABCD$ 沿着 $x$ 轴的正方向平移时，求 $S$ 关于 $t (0 < t ⩽ 5)$ 的函数表达式，并求出 $t$ 为何值时， $S$ 有最大值，最大值是多少？

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（2）已知 $⊙ O$ 的半径为2.5， $BE = 4$ ，求 $BC$ ， $AD$ 的长．

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如图，已知反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (x > 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (x < 0)$ 的图象关于 $y$ 轴对称， $A (1, 4)$ ， $B (4, m)$ 是函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (x > 0)$ 图象上的两点，连接 $AB$ ，点 $C (- 2, n)$ 是函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (x < 0)$ 图象上的一点，连接 $AC$ ， $BC$ ．

（1）求 $m$ ， $n$ 的值；

（2）求 $AB$ 所在直线的表达式；

（3）求 $ΔABC$ 的面积．

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随着我市农产品整体品牌形象“聊 $\cdot$ 胜一筹 $!$ ”的推出，现代农业得到了更快发展．某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图1．线段 $AB$ ， $BD$ 分别表示大棚的墙高和跨度， $AC$ 表示保温板的长．已知墙高 $AB$ 为2米，墙面与保温板所成的角 $∠ BAC = 150 °$ ，在点 $D$ 处测得 $A$ 点、 $C$ 点的仰角分别为 $9 °$ ， $15.6 °$ ，如图2．求保温板 $AC$ 的长是多少米？（精确到0.1米）

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