我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．
如下图，抛物线F₂都是抛物线F₁的过顶抛物线，设F₁的顶点为A，F₂的对称轴分别交F₁、F₂于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．

（1）如图1，如果抛物线y=x²的过顶抛物线为y=ax²+bx，C（2，0），那么
①a=     ，b=     ．
②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（     ）
A．平行四边形       B．矩形       C．菱形       D．正方形
（2）如图2，抛物线y=ax²+c的过顶抛物线为F₂，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．
（3）如果抛物线的过顶抛物线是F₂，四边形ABCD的面积为，请直接写出点B的坐标．

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已知 $ΔABC$ 与 $ΔDEC$ 是两个大小不同的等腰直角三角形．

（1）如图①所示，连接 $AE$ ， $DB$ ，试判断线段 $AE$ 和 $DB$ 的数量和位置关系，并说明理由；

（2）如图②所示，连接 $DB$ ，将线段 $DB$ 绕 $D$ 点顺时针旋转 $90 °$ 到 $DF$ ，连接 $AF$ ，试判断线段 $DE$ 和 $AF$ 的数量和位置关系，并说明理由．

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某学校教学楼（甲楼）的顶部 $E$ 和大门 $A$ 之间挂了一些彩旗．小颖测得大门 $A$ 距甲楼的距离 $AB$ 是 $31 m$ ，在 $A$ 处测得甲楼顶部 $E$ 处的仰角是 $31 °$ ．

（1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到 $0.01 m)$

（2）若小颖在甲楼楼底 $C$ 处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶 $G$ 处的仰角为 $40 °$ ，爬到甲楼楼顶 $F$ 处测得乙楼楼顶 $G$ 处的仰角为 $19 °$ ，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到 $0.01 m)$

$(\cos 31 ° \approx 0.86$ ， $\tan 31 ° \approx 0.60$ ， $\cos 19 ° \approx 0.95$ ， $\tan 19 ° \approx 0.34$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84)$

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为了丰富校园文化，某学校决定举行学生趣味运动会，将比赛项目确定为袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛五种，为了解学生对这五项运动的喜欢情况，随机调查了该校 $a$ 名学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择五项中的一种），并将调查结果绘制成如图不完整的统计图表：

学生最喜欢的活动项目的人数统计表

项目	学生数（名 $)$	百分比 $(%)$
袋鼠跳	45	15
夹球跑	30	$c$
跳大绳	75	25
绑腿跑	$b$	20
拔河赛	90	30

根据图表中提供的信息，解答下列问题：

（1） $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　．

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）根据调查结果，请你估计该校3000名学生中有多少名学生最喜欢绑腿跑；

（4）根据调查结果，某班决定从这五项（袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛可分别记为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E)$ 中任选其中两项进行训练，用画树状图或列表的方法求恰好选到学生喜欢程度最高的两项的概率．

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定义：点 $P$ 是 $ΔABC$ 内部或边上的点（顶点除外），在 $ΔPAB$ ， $ΔPBC$ ， $ΔPCA$ 中，若至少有一个三角形与 $ΔABC$ 相似，则称点 $P$ 是 $ΔABC$ 的自相似点．

例如：如图1，点 $P$ 在 $ΔABC$ 的内部， $∠ PBC = ∠ A$ ， $∠ BCP = ∠ ABC$ ，则 $ΔBCP ∽ ΔABC$ ，故点 $P$ 是 $ΔABC$ 的自相似点．

请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：

在平面直角坐标系中，点 $M$ 是曲线 $y = \frac{3 \sqrt{3}}{x} (x > 0)$ 上的任意一点，点 $N$ 是 $x$ 轴正半轴上的任意一点．

（1）如图2，点 $P$ 是 $OM$ 上一点， $∠ ONP = ∠ M$ ，试说明点 $P$ 是 $ΔMON$ 的自相似点；当点 $M$ 的坐标是 $(\sqrt{3}$ ， $3)$ ，点 $N$ 的坐标是 $(\sqrt{3}$ ， $0)$ 时，求点 $P$ 的坐标；

（2）如图3，当点 $M$ 的坐标是 $(3, \sqrt{3})$ ，点 $N$ 的坐标是 $(2, 0)$ 时，求 $ΔMON$ 的自相似点的坐标；

（3）是否存在点 $M$ 和点 $N$ ，使 $ΔMON$ 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

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已知函数 $y = m x^{2} - (2 m - 5) x + m - 2$ 的图象与 $x$ 轴有两个公共点．

（1）求 $m$ 的取值范围，并写出当 $m$ 取值范围内取最大整数时函数的解析式；

（2）题（1）中求得的函数记为 $C_{1}$ ．

①当 $n ⩽ x ⩽ - 1$ 时， $y$ 的取值范围是 $1 ⩽ y ⩽ - 3 n$ ，求 $n$ 的值；

②函数 $C_{2} : y = m {(x - h)}^{2} + k$ 的图象由函数 $C_{1}$ 的图象平移得到，其顶点 $P$ 落在以原点为圆心，半径为 $\sqrt{5}$ 的圆内或圆上．设函数 $C_{1}$ 的图象顶点为 $M$ ，求点 $P$ 与点 $M$ 距离最大时函数 $C_{2}$ 的解析式．

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