已知等腰△ABC中，ABAC，D是BC的中点，将三角板中的9

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，将三角板中的90°角的顶点绕D点在△ABC内旋转，角的两边分别与AB、AC交于E、F，且点E、F不与A、B、C三点重合．

如果∠A=90°求证：DE=DF
如果DF//AB，则结论：“四边形AEDF为直角梯形”是否正确，若正确，请证明；若不正确，请画出草图举反例

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问题提出

（1）如图①，已知 $ΔABC$ ，请画出 $ΔABC$ 关于直线 $AC$ 对称的三角形．

问题探究

（2）如图②，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 4$ ， $AD = 6$ ， $AE = 4$ ， $AF = 2$ ，是否在边 $BC$ 、 $CD$ 上分别存在点 $G$ 、 $H$ ，使得四边形 $EFGH$ 的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）如图③，有一矩形板材 $ABCD$ ， $AB = 3$ 米， $AD = 6$ 米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形 $EFGH$ 部件，使 $∠ EFG = 90 °$ ， $EF = FG = \sqrt{5}$ 米， $∠ EHG = 45 °$ ，经研究，只有当点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别在边 $AD$ 、 $AB$ 、 $BC$ 上，且 $AF < BF$ ，并满足点 $H$ 在矩形 $ABCD$ 内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形 $EFGH$ 部件？若能，求出裁得的四边形 $EFGH$ 部件的面积；若不能，请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 5$ 经过点 $M (1, 3)$ 和 $N (3, 5)$

（1）试判断该抛物线与 $x$ 轴交点的情况；

（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点 $A (- 2, 0)$ ，且与 $y$ 轴交于点 $B$ ，同时满足以 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．

题型：未知
难度：未知

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如图，已知： $AB$ 是 $⊙ O$ 的弦，过点 $B$ 作 $BC ⊥ AB$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $AB$ 的延长线于点 $D$ ，取 $AD$ 的中点 $E$ ，过点 $E$ 作 $EF / / BC$ 交 $DC$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $AF$ 并延长交 $BC$ 的延长线于点 $G$ ．

求证：

（1） $FC = FG$ ；

（2） $A B^{2} = BC \cdot BG$ ．

题型：未知
难度：未知

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某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶 $(500 ml)$ 、红茶 $(500 ml)$ 和可乐 $(600 ml)$ ，抽奖规则如下：①如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有"可"、"绿"、"乐"、"茶"、"红"字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次"有效随机转动"（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次"有效随机转动" $)$ ；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次"有效随机转动"；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品．

根据以上规则，回答下列问题：

（1）求一次"有效随机转动"可获得"乐"字的概率；

（2）有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求该顾客经过两次"有效随机转动"后，获得一瓶可乐的概率．

题型：未知
难度：未知

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昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离 $y$ （千米）与他离家的时间 $x$ （时 $)$ 之间的函数图象．

根据下面图象，回答下列问题：

（1）求线段 $AB$ 所表示的函数关系式；

（2）已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？

题型：未知
难度：未知

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