（本小题满分16分）已知点
为椭圆
上的任意一点（长轴的端点除外），
、
分别为左、右焦点，其中a，b为常数．
（1）若点P在椭圆的短轴端点位置时，
为直角三角形，求椭圆的离心率．
（2）求证：直线
为椭圆在点P处的切线方程；
（3）过椭圆的右准线上任意一点R作椭圆的两条切线，切点分别为S、T．请判断直线ST是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标，若不经过定点，请说明理由．
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的单调区间和极值；
对任意
满足
,求证：当
,
，且
，求证：
（本小题满分12分）
某商店储存的50个灯泡中, 甲厂生产的灯泡占
, 乙厂生产的灯泡占
, 甲厂生产的灯泡的一等品率是
, 乙厂生产的灯泡的一等品率是
.
(1) 若从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等), 则它是甲厂生产的一等品的概率是多少?
(2) 从这50个灯泡中随机抽取出的一个灯泡是一等品, 求它是甲厂生产的概率是
多少?
(3) 若从这50个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等), 这两个灯泡中是甲厂生产的一等品的个数记为
, 求
的值.
（本小题满分12分）
如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形(尺寸如图所示).
(1) 求证：AE∥平面DCF
(2) 当AB的长为
时，
求二面角A-EF-C的大小.
（本小题满分12分）
如图，A是单位圆与
轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=
(0<<
),
，四边形OAQP的面积为S.
(1) 求
的最大值及此时的值0.
(2) 设点B的坐标为(
)，∠AOB=
，在(1)的条件下，
求△BOP的面积S0.
（
）所表示的平面区域为
，记
.（Ⅰ）求
并猜想
的表达式再用数学归纳法加以证明；（Ⅱ）设数列
的前r项和为
，数列
的前r项和
,是否存在自然数m？使得对一切
恒成立。若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。
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