（本题12分）如图1，直线y=﹣3x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线 y=a（x﹣4）2+k
经过点A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为D．
（1）则a= ，k= ；（直接填空）
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形，若存在，求P点的坐
标；若不存在，说明理由．
（3）如图2，连接AD、DC、CB，经过点A存在一条直线将四边形ABCD的面积分为3：5的两个部分，
试求这条直线的函数关系式．
小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
（1）温故：如图1，在中，
于点
，正方形
的边
在
上，顶点
，
分别在
，
上，若
，
，求正方形
的边长（用
，
表示）．
（2）操作：如何画出这个正方形呢？
如图2，小波画出了图1的，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在
上任取一点
，画正方形
，使点
，
在
边上，点
在
内，然后连结
，并延长交
于点
，画
于点
，
交
于点
，
于点
，得到四边形
．
（3）推理：证明图2中的四边形是正方形．
（4）拓展：小波把图2中的线段称为“波利亚线”，在该线上截取
，连结
，
（如图
，当
时，求“波利亚线”
的长（用
，
表示）．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
某农作物的生长率与温度
有如下关系：如图，当
时可近似用函数
刻画；当
时可近似用函数
刻画．
（1）求的值．
（2）按照经验，该作物提前上市的天数（天
与生长率
之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：
生长率 |
0.2 |
0.25 |
0.3 |
0.35 |
提前上市的天数 |
0 |
5 |
10 |
15 |
求：①关于
的函数表达式；
②用含的代数式表示
．
③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到
时的成本为200元
天，但若欲加温到
，由于要采用特殊方法，成本增加到400元
天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．（注
农作物上市售出后大棚暂停使用）
某挖掘机的底座高米，动臂
米，
米，
与
的固定夹角
．初始位置如图1，斗杆顶点
与铲斗顶点
所在直线
垂直地面
于点
，测得
（示意图
．工作时如图3，动臂
会绕点
转动，当点
，
，
在同一直线时，斗杆顶点
升至最高点（示意图
．
（1）求挖掘机在初始位置时动臂与
的夹角
的度数．
（2）问斗杆顶点的最高点比初始位置高了多少米？（精确到0.1米）
（参考数据：，
，
，
，
在“创全国文明城市”活动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．其中、
两小区分别有500名居民，社区从中各随机抽取50名居民进行相关知识测试，并将成绩进行整理得到部分信息：
[信息一]小区50名居民成绩的频数直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）；
[信息二]图中，从左往右第四组的成绩如下
75 |
75 |
79 |
79 |
79 |
79 |
80 |
80 |
81 |
82 |
82 |
83 |
83 |
84 |
84 |
84 |
[信息三]、
两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率
分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）
小区 |
平均数 |
中位数 |
众数 |
优秀率 |
方差 |
75.1 |
79 |
277 |
|||
75.1 |
77 |
76 |
211 |
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求小区50名居民成绩的中位数．
（2）请估计小区500名居民中能超过平均数的有多少人？
（3）请尽量从多个角度比较、分析，
两小区居民掌握垃圾分类知识的情况．
粤公网安备 44130202000953号