（本题8分）如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEF_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本题8分）如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．

（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

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某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．

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（1）求二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的表达式；

（2）过点 $N$ 作 $NF ⊥ x$ 轴，垂足为点 $F$ ，若四边形 $MNFE$ 为正方形（此处限定点 $M$ 在对称轴的右侧），求该正方形的面积；

（3）若 $∠ DMN = 90 °$ ， $MD = MN$ ，求点 $M$ 的横坐标．

题型：未知
难度：未知

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如图，四边形 $ABCD$ 为一个矩形纸片， $AB = 3$ ， $BC = 2$ ，动点 $P$ 自 $D$ 点出发沿 $DC$ 方向运动至 $C$ 点后停止， $ΔADP$ 以直线 $AP$ 为轴翻折，点 $D$ 落在点 $D_{1}$ 的位置．设 $DP = x$ ，△ $A D_{1} P$ 与原纸片重叠部分的面积为 $y$ ．

（1）当 $x$ 为何值时，直线 $A D_{1}$ 过点 $C$ ？

（2）当 $x$ 为何值时，直线 $A D_{1}$ 过 $BC$ 的中点 $E$ ？

（3）求出 $y$ 与 $x$ 的函数表达式．

题型：未知
难度：未知

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已知： $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $AB = 2$ ，弦 $DE = 1$ ，直线 $AD$ 与 $BE$ 相交于点 $C$ ，弦 $DE$ 在 $⊙ O$ 上运动且保持长度不变， $⊙ O$ 的切线 $DF$ 交 $BC$ 于点 $F$ ．

（1）如图1，若 $DE / / AB$ ，求证： $CF = EF$ ；

（2）如图2，当点 $E$ 运动至与点 $B$ 重合时，试判断 $CF$ 与 $BF$ 是否相等，并说明理由．

题型：未知
难度：未知

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图1是太阳能热水器装置的示意图．利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角 $(θ)$ 确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：

如图2， $AB ⊥ BC$ ，垂足为点 $B$ ， $EA ⊥ AB$ ，垂足为点 $A$ ， $CD / / AB$ ， $CD = 10 cm$ ， $DE = 120 cm$ ， $FG ⊥ DE$ ，垂足为点 $G$ ．

（1）若 $∠ θ = 37 ° 50'$ ，则 $AB$ 的长约为　　 $cm$ ；

（参考数据： $\sin 37 ° 50' \approx 0.61$ ， $\cos 37 ° 50' \approx 0.79$ ， $\tan 37 ° 50' \approx 0.78)$

（2）若 $FG = 30 cm$ ， $∠ θ = 60 °$ ，求 $CF$ 的长．

题型：未知
难度：未知

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