甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左手从甲袋中取球,用右手从乙袋中取球,(1)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率;(2)若一次在同一袋中取出两球,如果两球颜色相同则称这次取球获得成功。某人第一次左手先取两球,第二次右手再取两球,记两次取球的获得成功的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.
(本小题满分14分)已知函数.(1)当时,求函数的单调区间;(2)若对于任意都有成立,求实数的取值范围;(3)若过点可作函数图象的三条不同切线,求实数的取值范围.
(本小题满分14分)设椭圆的右焦点为,直线与轴交于点,若(其中为坐标原点).(1)求椭圆的方程;(2)设是椭圆上的任意一点,为圆的任意一条直径(、为直径的两个端点),求的最大值.
(本小题满分14分)如图所示,已知正方形的边长为2,.将正方形沿对角线折起,得到三棱锥. (1)求证:平面平面;(2)若三棱锥的体积为,求的长.
(本小题满分14分)各项均为正数的数列,满足,().(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.
(本小题满分12分)某城市为准备参加“全国文明城市”的评选,举办了“文明社区”评选的活动,在第一轮暗访评分中,评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分,每项评分均采用5分制,若设“社区服务”得分为分,“居民素质”得分为分,统计结果如下表:(1)若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分(即且)的社区可以进入第二轮评比,现从50个社区中随机选取一个社区,求这个社区能进入第二轮评比的概率;(2)若在50个社区中随机选取一个社区,这个社区的“居民素质”得1分的概率为,求、的值.