⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径P

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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2015年初中毕业升学考试（广东卷）数学

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⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，PB.
（1）如题24﹣1图；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；
（2）如题24﹣2图，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；
（3）如题24﹣3图；取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB.

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为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，国家每年都要对中学生进行一次体能测试，测试结果分“优秀”、“良好”、“及格”、“不及格”四个等级，某学校从七年级学生中随机抽取部分学生的体能测试结果进行分析，并根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据这两幅统计图中的信息回答下列问题

（1）本次抽样调查共抽取多少名学生？

（2）补全条形统计图．

（3）在扇形统计图中，求测试结果为“良好”等级所对应圆心角的度数．

（4）若该学校七年级共有600名学生，请你估计该学校七年级学生中测试结果为“不及格”等级的学生有多少名？

（5）请你对“不及格”等级的同学提一个友善的建议（一句话即可）．

题型：未知
难度：未知

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据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过 $15 m / s$ ，在一条笔直公路 $BD$ 的上方 $A$ 处有一探测仪，如平面几何图， $AD = 24 m$ ， $∠ D = 90 °$ ，第一次探测到一辆轿车从 $B$ 点匀速向 $D$ 点行驶，测得 $∠ ABD = 31 °$ ，2秒后到达 $C$ 点，测得 $∠ ACD = 50 ° (\tan 31 ° \approx 0.6$ ， $\tan 50 ° \approx 1.2$ ，结果精确到 $1 m)$

（1）求 $B$ ， $C$ 的距离．

（2）通过计算，判断此轿车是否超速．

题型：未知
难度：未知

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在 $ΔABC$ 中， $BC = a$ ， $AC = b$ ， $AB = c$ ，若 $∠ C = 90 °$ ，如图1，则有 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ；若 $ΔABC$ 为锐角三角形时，小明猜想： $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ，理由如下：如图2，过点 $A$ 作 $AD ⊥ CB$ 于点 $D$ ，设 $CD = x$ ．在 $Rt Δ ADC$ 中， $A D^{2} = b^{2} - x^{2}$ ，在 $Rt Δ ADB$ 中， $A D^{2} = c^{2} - {(a - x)}^{2}$

$∴ a^{2} + b^{2} = c^{2} + 2 ax$

$∵ a > 0$ ， $x > 0$

$∴ 2 ax > 0$

$∴ a^{2} + b^{2} > c^{2}$

$∴$ 当 $ΔABC$ 为锐角三角形时， $a^{2} + b^{2} > c^{2}$

所以小明的猜想是正确的．

（1）请你猜想，当 $ΔABC$ 为钝角三角形时， $a^{2} + b^{2}$ 与 $c^{2}$ 的大小关系．

（2）温馨提示：在图3中，作 $BC$ 边上的高．

（3）证明你猜想的结论是否正确．

题型：未知
难度：未知

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甲队修路500米与乙队修路800米所用天数相同，乙队比甲队每天多修30米，问甲队每天修路多少米？

解：设甲队每天修路 $x$ 米，用含 $x$ 的代数式完成表格：

甲队每天修路长度（单位：米）	乙队每天修路长度（单位：米）	甲队修500米所用天数（单位：天）	乙队修800米所用天数（单位：天）
$x$		$\frac{500}{x}$

关系式：甲队修500米所用天数 $=$ 乙队修800米所用天数

根据关系式列方程为：　　

解得：　　

检验：　　

答：　　．

题型：未知
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为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码 $a$ ， $b$ ， $c$ 时，则接收方对应收到的密码为 $A$ ， $B$ ， $C$ ．双方约定： $A = 2 a - b$ ， $B = 2 b$ ， $C = b + c$ ，例如发出1，2，3，则收到0，4，5

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（2）当接收方收到一组密码2，8，11时，则发送方发出的密码是多少？

题型：未知
难度：未知

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