已知椭圆 $x^2+2y^2=1$，过原点的两条直线 $l_1$和 $l_2$分别于椭圆交于 $A,B$和 $C,D$，记得到的平行四边形 $ABCD$的面积为 $S$.
（1）设 $A(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$，用 $A,C$的坐标表示点 $C$到直线 $l_1$的距离，并证明 $S=2\left|x_1{y}_1-x_2{y}_2\right|$；
（2）设 $l_1$与 $l_2$的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$，求面积 $S$的值.