如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
如图，抛物线 与直线 相交于点 和点 ．
（1）求 和 的值；
（2）求点 的坐标，并结合图象写出不等式 的解集；
（3）点 是直线 上的一个动点，将点 向左平移3个单位长度得到点 ，若线段 与抛物线只有一个公共点，直接写出点 的横坐标 的取值范围．
猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中 ， 两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
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类别 价格 |
款玩偶 |
款玩偶 |
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进货价（元 个） |
40 |
30 |
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销售价（元 个） |
56 |
45 |
（1）第一次小李用1100元购进了 ， 两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
（2）第二次小李进货时，网店规定 款玩偶进货数量不得超过 款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
（3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？
（注：利润率
在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆” ， 的连接点 在 上，当点 在 上转动时，带动点 ， 分别在射线 ， 上滑动， ．当 与 相切时，点 恰好落在 上，如图2．
请仅就图2的情形解答下列问题．
（1）求证： ；
（2）若 的半径为5， ，求 的长．
开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点 与佛像 的底部 在同一水平线上．已知佛像头部 为 ，在 处测得佛像头顶部 的仰角为 ，头底部 的仰角为 ，求佛像 的高度（结果精确到 ．参考数据： ， ， ．
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