（本题8分）已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相

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（本题8分）已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝6，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．

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如图，在平面直角坐标系中，坐标原点 $O$ 是菱形 $ABCD$ 的对称中心．边 $AB$ 与 $x$ 轴平行，点 $B (1, - 2)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过 $A$ ， $C$ 两点．

（1）求点 $C$ 的坐标及反比例函数的解析式．

（2）直线 $BC$ 与反比例函数图象的另一交点为 $E$ ，求以 $O$ ， $C$ ， $E$ 为顶点的三角形的面积．

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攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2箱 $A$ 品种芒果和3箱 $B$ 品种芒果，共花费450元；后又购买了1箱 $A$ 品种芒果和2箱 $B$ 品种芒果，共花费275元（每次两种芒果的售价都不变）．

（1）问 $A$ 品种芒果和 $B$ 品种芒果的售价分别是每箱多少元？

（2）现要购买两种芒果共18箱，要求 $B$ 品种芒果的数量不少于 $A$ 品种芒果数量的2倍，但不超过 $A$ 品种芒果数量的4倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．

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如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， $AE ⊥ BC$ ， $CF ⊥ AD$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ ， $AE$ ， $CF$ 分别与 $BD$ 交于点 $G$ 和 $H$ ，且 $AB = 2 \sqrt{5}$ ．

（1）若 $\tan ∠ ABE = 2$ ，求 $CF$ 的长；

（2）求证： $BG = DH$ ．

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中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整．

请你根据统计图解答下列问题：

（1）参加比赛的学生共有　　名；

（2）在扇形统计图中， $m$ 的值为　　，表示“ $D$ 等级”的扇形的圆心角为　　度；

（3）组委会决定从本次比赛获得 $A$ 等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知 $A$ 等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．

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如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点坐标为，抛物线的对称轴方程为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点从点出发，在线段上以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设的面积为，点运动时间为，试求与的函数关系，并求的最大值；

（3）在点运动过程中，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．

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