如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE2DE

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F．

（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．

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阅读下列材料并回答问题：

材料1：如果一个三角形的三边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，那么三角形的面积为 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ． ①

古希腊几何学家海伦 $(Heron$ ，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．

我国南宋数学家秦九韶（约 $1202 - -$ 约 $1261)$ ，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式： $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ． ②

下面我们对公式②进行变形： $\sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]} = \sqrt{{(\frac{1}{2} ab)}^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4})}^{2}} = \sqrt{(\frac{1}{2} ab + \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4}) (\frac{1}{2} ab - \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4})} = \sqrt{\frac{2 ab + a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4} \cdot \frac{2 ab - a^{2} - b^{2} + c^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{{(a + b)}^{2} - c^{2}}{4} \cdot \frac{c^{2} - {(a - b)}^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{a + b + c}{2} \cdot \frac{a + b - c}{2} \cdot \frac{a + c - b}{2} \cdot \frac{b + c - a}{2}} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．

这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦 $- -$ 秦九韶公式．

问题：如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = 13$ ， $BC = 12$ ， $AC = 7$ ， $⊙ O$ 内切于 $ΔABC$ ，切点分别是 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ．

（1）求 $ΔABC$ 的面积；

（2）求 $⊙ O$ 的半径．

题型：未知
难度：未知

收藏答案/解析

在创建“全国文明城市”和“省级文明城区”过程中，栾城区污水处理厂决定先购买 $A$ 、 $B$ 两型污水处理设备共20台，对城区周边污水进行处理．已知每台 $A$ 型设备价格为12万元，每台 $B$ 型设备价格为10万元；1台 $A$ 型设备和2台 $B$ 型设备每周可以处理污水640吨，2台 $A$ 型设备和3台 $B$ 型设备每周可以处理污水1080吨．