（本小题满分12分）某校在一次对学生在课外活动中喜欢跑步和喜

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分12分）某校在一次对学生在课外活动中喜欢跑步和喜欢打球的学生的抽样调查
中，随机抽取了名同学，相关数据如下表所示：

	喜欢跑步	喜欢打球	总计
男生
女生
总计

（1）由表中数据直观分析，喜欢打球的学生是否与性别有关？
（2）用分层抽样的方法在喜欢打球的学生中随机抽取名，求男学生应该抽取几名？
（3）在上述抽取的名学生中任取名，求恰有名女学生的概率．

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当实数取何值时，复数（其中是虚数单位）．
（1）是实数；（2）是纯虚数；（3）等于零.

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（1）求复数；（2）求的模．

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（1）已知函数 $f (x) = r x - x^{`} + (1 - r) (x > 0)$ ，其中 $r$ 为有理数，且 $0 < r < 1$ . 求 $f (x)$ 的最小值；
（2）试用（1）的结果证明如下命题：设 $a_{1} \geq 0, a_{2} \geq 0$ ， $b_{1}, b_{2}$ 为正有理数. 若 $b_{1} + b_{2} = 1$ ，则 $a_{1}^{k_{1}} a_{2}^{k_{2}} \leq a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ ；
（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.
注：当 $α$ 为正有理数时，有求导公式 ${(x^{α})}^{`} = α x^{α - 1}$ .

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设 $A$ 是单位圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的任意一点， $l$ 是过点 $A$ 与 $x$ 轴垂直的直线， $D$ 是直线 $l$ 与 $x$  轴的交点，点 $M$ 在直线 $l$ 上，且满足 $|D M| = m |D A| (m > 0, 且 m \neq 1)$ . 当点 $A$ 在圆上运动时，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ．
（Ⅰ）求曲线 $C$ 的方程，判断曲线 $C$ 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为 $k$ 的直线交曲线 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，其中 $P$ 在第一象限，它在 $y$ 轴上的射影为点 $N$ ，直线 $Q N$ 交曲线 $C$ 于另一点 $H$ . 是否存在 $m$ ，使得对任意的 $k > 0$ ，都有 $P Q ⊥ P H$ ？若存在，求 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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根据以往的经验，某工程施工期间的降水量 $X$ （单位： $m m$ ）对工期的影响如下表：

降水量 $X$	$X < 300$	$300 \leq X < 700$	$700 \leq X < 900$	$X \geq 900$
工期延误天数 $Y$	0	2	6	10

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量 $X$ 小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：
（Ⅰ）工期延误天数 $Y$ 的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.

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