（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形是直角梯形，，平面，．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．

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（1）如图，对于任一给定的四面体 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ ，找出依次排列的四个相互平行的平面 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ ，使得 $A_{i} \in α_{i}$ （ $i$ =1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ ，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ 的四个顶点满足： $A_{i} \in α_{i}$ （ $i$ =1,2,3,4），求该正四面体 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ 的体积.

题型：未知
难度：未知

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$P (x_{0}, y_{0}) (x_{0} \neq \pm a)$ 是双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上一点， $M, N$ 分别是双曲线 $E$ 的左、右定点，直线 $P M, P N$ 的斜率之积为 $\frac{1}{5}$ .
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线 $E$ 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点， $C$ 为双曲线上的一点，满足 $\overset{⇀}{O C} = λ \overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B}$ ，求 $λ$ 的值.

题型：未知
难度：未知

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设 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 a x$ .
（1）若 $f (x)$ 在 $(\frac{2}{3}, + \infty)$ 上存在单调递增区间，求 $a$ 的取值范围；
（2）当 $0 < a < 2$ 时， $f (x)$ 在 $[1, 4]$ 上的最小值为 $- \frac{16}{3}$ ，求 $f (x)$ 在该区间上的最大值.

题型：未知
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已知两个等比数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ，满足 $a_{1} = a (a > 0), b_{1} - a_{1} = 1, b_{2} - a_{2} = 2, b_{3} - a_{3} = 3$ .
（1）若 $a = 1$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（2）若数列 ${a_{n}}$ 唯一，求 $a$ 的值.

题型：未知
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在 $∆ A B C$ 中,角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ,已知 $\sin C + \cos C = 1 - \sin \frac{C}{2}$ .
（1）求 $\sin C$ 的值；
（2）若 $a^{2} + b^{2} = 4 (a + b) - 8$ ,求边 $c$ .

题型：未知
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