设 $f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+2ax$.
（1）若 $f\left(x\right)$在 $(\frac{2}{3},+\infty )$上存在单调递增区间，求 $a$的取值范围；
（2）当 $0<a<2$时， $f\left(x\right)$在 $\left[1,4\right]$上的最小值为 $-\frac{16}{3}$，求 $f\left(x\right)$在该区间上的最大值.