（本小题满分14分）如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为1

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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（本小题满分14分）如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的正方形，PD^底面ABCD，PD=AD，E为PC的中点，F为PB上一点，且EF^PB．

（1）证明：PA//平面EDB；
（2）证明：AC^DF；
（3）求平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值．

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某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 $Y$ （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量 $X$ （单位：毫米）有关．据统计，当 $X = 70$ 时， $Y = 460$ ； $X$ 每增加10， $Y$ 增加5；已知近20年 $X$ 的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．
（I）完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表

降雨量	70	110	140	160	200	220
频率	$\frac{1}{20}$		$\frac{4}{20}$			$\frac{2}{20}$

（II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．

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在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ 且满足 $c \sin A = a \cos C$ .

（I）求角 $C$ 的大小；
（II）求 $\sqrt{3} \sin A - \cos (B + \frac{π}{4})$ 的最大值，并求取得最大值时角 $A, B$ 的大小．

题型：未知
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在数1和100之间插入 $n$ 个实数，使得这 $n + 2$ 个数构成递增的等比数列，将这 $n + 2$ 个数的乘积记作 $T_{n}$ ，再令 $a_{n} = \log (T_{n})$ , $n \geq 1$ .
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = \tan (a_{n}) \cdot \tan (a_{n - 1})$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .