（满分8分）已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论m取何

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（满分8分）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若，是原方程的两根，且，求m的值，并求出此时方程的两根．

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如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，菱形 $OABC$ 的顶点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上，顶点 $C$ 的坐标为 $(1, \sqrt{3})$ ．

（1）求图象过点 $B$ 的反比例函数的解析式；

（2）求图象过点 $A$ ， $B$ 的一次函数的解析式；

（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量 $x$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 $y$ （单位： $m)$ 与飞行时间 $x$ （单位： $s)$ 之间具有函数关系 $y = - 5 x^{2} + 20 x$ ，请根据要求解答下列问题：

（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 $15 m$ 时，飞行时间是多少？

（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？

（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？

题型：未知
难度：未知

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如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上， $AD ⊥ CD$ 于点 $D$ ，且 $AC$ 平分 $∠ DAB$ ，求证：

（1）直线 $DC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2） $A C^{2} = 2 AD \cdot AO$ ．

题型：未知
难度：未知

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如图1，经过原点 $O$ 的抛物线 $y = a x^{2} + bx (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于另一点 $A (\frac{3}{2}$ ， $0)$ ，在第一象限内与直线 $y = x$ 交于点 $B (2, t)$ ．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）在第四象限内的抛物线上有一点 $C$ ，满足以 $B$ ， $O$ ， $C$ 为顶点的三角形的面积为2，求点 $C$ 的坐标；

（3）如图2，若点 $M$ 在这条抛物线上，且 $∠ MBO = ∠ ABO$ ，在（2）的条件下，是否存在点 $P$ ，使得 $ΔPOC ∽ ΔMOB$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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如图，将矩形纸片 $ABCD$ 沿直线 $MN$ 折叠，顶点 $B$ 恰好与 $CD$ 边上的动点 $P$ 重合（点 $P$ 不与点 $C$ ， $D$ 重合），折痕为 $MN$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在边 $AD$ ， $BC$ 上，连接 $MB$ ， $MP$ ， $BP$ ， $BP$ 与 $MN$ 相交于点 $F$ ．

（1）求证： $ΔBFN ∽ ΔBCP$ ；

（2）①在图2中，作出经过 $M$ ， $D$ ， $P$ 三点的 $⊙ O$ （要求保留作图痕迹，不写做法）；

②设 $AB = 4$ ，随着点 $P$ 在 $CD$ 上的运动，若①中的 $⊙ O$ 恰好与 $BM$ ， $BC$ 同时相切，求此时 $DP$ 的长．

题型：未知
难度：未知

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