（本小题满分14分）已知函数（）．（1）讨论的单调性；（2）

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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（本小题满分14分）已知函数（）．
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围（为自然常数）；
（3）求证（，）．

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已知函数 $f (x) = (a + 1) \ln x + a x^{2} + 1$ .
（Ⅰ）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）设 $a \leq - 2$ ，证明：对任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ， $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \geq 4 |x_{1} - x_{2}|$ 。

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证明以下命题：
（1）对任一正整数 $a$ ，都存在正整数 $b, c (b < c)$ ，使得 $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ 成等差数列；
（2）存在无穷多个互不相似的三角形 $△_{n}$ ,其边长 $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ 为正整数且 ${a_{n}}^{2}, {b_{n}}^{2}, {c_{n}}^{2}$ 成等差数列.

题型：未知
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设椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，抛物线 $C_{2}$ ： $x^{2} + b y = b^{2}$ .

(1) 若 $C_{2}$ 经过 $C_{1}$ 的两个焦点，求 $C_{1}$ 的离心率；
(2) 设 $A (0, b), Q (3 \sqrt{3}, \frac{5}{4} b)$ ，又 $M, N$ 为 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 不在 $y$ 轴上的两个交点，若 $△ A M N$ 的垂心为 $B (0, \frac{3}{4} b)$ ，且 $△ Q M N$ 的重心在 $C_{2}$ 上，求椭圆 $C_{1}$ 和抛物线 $C_{2}$ 的方程．

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如图， $△ B C D$ 与 $△ M C D$ 都是边长为2的正三角形，
平面 $M C D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ .
（1）求点 $A$ 到平面 $M B C$ 的距离；
（2）求平面 $A C M$ 与平面 $B C D$ 所成二面角的正弦值.

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设函数 $f (x) = \ln x + \ln (2 - x) + a x, (a > 0)$ ．
（1）当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；
（2）若 $f (x)$ 在 $(0, 1]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$ ，求 $a$ 的值．

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