设函数 $f\left(x\right)=\ln x+\ln (2-x)+ax,(a>0)$．
（1）当 $a=1$时，求 $f\left(x\right)$的单调区间；
（2）若 $f\left(x\right)$在 $(0,1]$上的最大值为 $\frac{1}{2}$，求 $a$的值．