已知函数，（1）证明为奇函数，并在上为增函数；（2）若关于的

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
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已知函数，
（1）证明为奇函数，并在上为增函数；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围
（3）设，当时，，求的最大值

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如图，四边形 $A B C D$ 为正方形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D ∥ Q A$ ， $Q A = A B = \frac{1}{2} P D$ .

（I）证明：平面 $P Q C ⊥$ 平面 $D C Q$

（II）求二面角 $Q - B P - C$ 的余弦值.

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已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 0$ ， $a_{6} + a_{8} = - 10$ .

（I）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（II）求数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n - 1}}}$ 的前 $n$ 项和.

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已知平面内一动点 $P$ 到点 $F$ （1，0）的距离与点 $P$ 到 $y$ 轴的距离的等等于1．
（1）求动点 $P$ 的轨迹的方程；
（2）过点 $F$ 作两条斜率存在且互相垂直的直线 $l_{1}, l_{2}$ ，设 $l_{1}$ 与轨迹 $C$ 相交于点 $A, B$ ， $l_{2}$ 与轨迹 $C$ 相交于点 $D, E$ ，求 $\overset{⇀}{A D} \cdot \overset{⇀}{E B}$ 的最小值．

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某企业在第 $1$ 年初购买一台价值为 $120$ 万元的设备 $M, M$ 的价值在使用过程中逐年减少，从第 $2$ 年到第 $6$ 年，每年初 $M$ 的价值比上年初减少 $10$ 万元；从第 $7$ 年开始，每年初 $M$ 的价值为上年初的 $75 %$ ．
（1）求第 $n$ 年初 $M$ 的价值 $a_{n}$ 的表达式；
（2）设 $A_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}$ ,若 $A_{n}$ 大于80万元，则 $M$ 继续使用，否则须在第 $n$ 年初对 $M$ 更新，证明：须在第9年初对 $M$ 更新．

题型：未知
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如图，在圆锥 $P O$ 中，已知 $P O = \sqrt{2}$ , $⊙ O$ 的直径 $A B = 2$ ,点 $C$ 在 $A B$ 上，且 $∠ C A B = 30 °$ , $D$ 为 $A C$ 的中点．
（I）证明： $A C ⊥ 平面 P O D$

（II）求直线和平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

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