已知集合,. (Ⅰ)求集合和 ; (Ⅱ)若,求实数的取值范围.
.(本小题满分14分)已知函数(,是不同时为零的常数),其导函数为. (1)当时,若不等式对任意恒成立,求的取值范围; (2)求证:函数在内至少存在一个零点; (3)若函数为奇函数,且在处的切线垂直于直线,关于的方程在上有且只有一个实数根,求实数的取值范围.
.(本小题满分14分)设抛物线的方程为,为直线上任意一点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,.(1)当的坐标为时,求过三点的圆的方程,并判断直线与此圆的位置关系; (2)求证:直线恒过定点;(3)当变化时,试探究直线上是否存在点,使为直角三角形,若存在,有几个这样的点,若不存在,说明理由.
(本小题满分14分)已知函数(为常数,),且数列是首项为,公差为的等差数列. (1)若,当时,求数列的前项和;(2)设,如果中的每一项恒小于它后面的项,求的取值范围.
.(本小题满分14分)三棱柱的直观图及三视图(主视图和俯视图是正方形,左侧图是等腰直角三角形)如图,为的中点. (1)求证:平面; (2)求证:平面; (3)求二面角的正切值.
(本小题满分12分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为.(1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程);(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由;(3)现从女生中抽取2人进一步调查,设其中喜爱打篮球的女生人数为,求的分布列与期望.下面的临界值表供参考:
(参考公式:,其中)