（本小题满分15分）已知数列的前项和满足：（为常数，且）．（

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度困难
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（本小题满分15分）已知数列的前项和满足：（为常数，且）．
（1）设，若数列为等比数列，求的值；
（2）在满足条件（1）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式
对任意的恒成立，求实数的取值范围．

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已知函数 $f (x) = A \sin (x + \frac{π}{4})$ ， $x \in R$ ，且 $f (\frac{5}{12} π) = \frac{3}{2}$ .
（1）求 $A$ 的值；
（2）若 $f (θ) + f (- θ) = \frac{3}{2}$ ， $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $f (\frac{3}{4} π - θ)$ .

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已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = |x + 1| + |x - 2|$ 的最小值为 $a$ .
（I）求 $a$ 的值；
（II）若 $p, q, r$ 为正实数，且 $p + q + r = a$ ，求证： $p^{2} + q^{2} + r^{2} \geq 3$ .

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（I）求直线 $l$ 和圆 $C$ 的普通方程；
（II）若直线 $l$ 与圆 $C$ 有公共点，求实数 $a$ 的取值范围.

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（I）求矩阵 $A$ ；
（II）求矩阵 $A^{- 1}$ 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.

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（I）求 $a$ 的值及函数 $f (x)$ 的极值；
（II）证明：当 $x > 0$ 时， $x^{2} < e^{x}$ ；
（III）证明：对任意给定的正数 $c$ ，总存在 $x_{0}$ ，使得当 $x \in (x_{0}, + \infty)$ ，恒有 $x^{2} < c e^{x}$ .

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