已知两点、,动点与、两点连线的斜率、满足.（Ⅰ）求动点的轨迹_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知两点、,动点与、两点连线的斜率、满足.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）是曲线与轴正半轴的交点,曲线上是否存在两点、,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在,请说明有几个；若不存在,请说明理由.

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如图，在极坐标系 $Ox$ 中， $A (2, 0)$ ， $B (\sqrt{2}, \frac{π}{4})$ ， $C (\sqrt{2}, \frac{3 π}{4})$ ， $D (2, π)$ ，弧 $\overset{⏜}{AB}$ ， $\overset{⏜}{BC}$ ， $\overset{⏜}{CD}$ 所在圆的圆心分别是 $(1, 0)$ ， $(1, \frac{π}{2})$ ， $(1, π)$ ，曲线 $M_{1}$ 是弧 $\overset{⏜}{AB}$ ，曲线 $M_{2}$ 是弧 $\overset{⏜}{BC}$ ，曲线 $M_{3}$ 是弧 $\overset{⏜}{CD}$ .

（1）分别写出 $M_{1}$ ， $M_{2}$ ， $M_{3}$ 的极坐标方程；

（2）曲线 $M$ 由 $M_{1}$ ， $M_{2}$ ， $M_{3}$ 构成，若点 $P$ 在 $M$ 上，且 $| OP | = \sqrt{3}$ ，求 $P$ 的极坐标.

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难度：未知

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已知曲线C：y= $\frac{x^{2}}{2}$ ，D为直线y= $- \frac{1}{2}$ 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

（1）证明：直线AB过定点：

（2）若以E(0， $\frac{5}{2}$ )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

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已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2} + 2$ .

（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（2）当 $0 < a < 3$ 时，记 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，求的取值范围.

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图1是由矩形 $ADEB, RtΔABC$ 和菱形 $BFGC$ 组成的一个平面图形，其中 $AB = 1, BE = BF = 2$ ， $∠ FBC = 6 0^{\circ}$ ，将其沿 $AB, BC$ 折起使得 $BE$ 与 $BF$ 重合，连结 $DG$ ，如图2.

（1）证明图2中的 $A, C, G, D$ 四点共面，且平面 $ABC ⊥$ 平面 $BCGE$ ；

（2）求图2中的四边形 $ACGD$ 的面积.

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$ΔABC$ 的内角的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a \sin \frac{A + C}{2} = b \sin A$ ．

（1）求 $B$ ；

（2）若 $ΔABC$ 为锐角三角形，且 $c = 1$ ，求 $ΔABC$ 面积的取值范围．

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