已知函数是定义在R上的奇函数，且当时有．（1）判断函数的单调

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知函数是定义在R上的奇函数，且当时有．
（1）判断函数的单调性，并求使不等式成立的实数的取值范围．
（2）若、、分别是的三个内角、、所对的边，面积求、的值；

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（I）设 $a_{1}, a_{2}, \dots a_{n}$ 是各项均不为零的等差数列 $(n \geq 4)$ ，且公差 $d \neq 0$ ，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当 $n = 4$ 时，求 $\frac{a_{1}}{d}$ 的数值；②求 $n$ 的所有可能值；
（II）求证：对于一个给定的正整数 $(n \geq 4)$ ，存在一个各项及公差都不为零的等差数列 $b_{1}, b_{2} \dots \dots b_{n}$ ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。

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设平面直角坐标系 $x o y$ 中，设二次函数 $f (x) = x^{2} + 2 x + b (x \in R)$ 的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 $C$ 。
（1）求实数 $b$ 的取值范围；
（2）求圆 $C$ 的方程；
（3）问圆 $C$ 是否经过某定点（其坐标与 $b$ 无关）？请证明你的结论。

题型：未知
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某地有三家工厂，分别位于矩形 $A B C D$ 的顶点 $A, B$ ，及 $C D$ 的中点 $P$ 处，已知 $A B = 20$ $k m$ , $C D = 10 k m$ ,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 $A B C D$ 的区域上（含边界），且 $A, B$ 等距离的一点 $O$ 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 $A O, B O, O P$ ，设排污管道的总长为 $y k m$ 。
（I）按下列要求写出函数关系式：
①设 $∠ B A O = θ (r a d)$ ，将 $y$ 表示成 $θ$ 的函数关系式；
②设 $O P = x (k m)$ ，将 $y$ 表示成 $x$ 的函数关系式。
（Ⅱ）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。

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在四面体 $A B C D$ 中， $C B = C D$ ， $A D ⊥ B D$ ，且 $E, F$ 分别是 $A B, B D$ 的中点，

求证：

（I）直线 $E F ∥ 面 A C D$ ；
（II） $面 E F C ⊥ 面 B C D$ 。

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如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以 $o x$ 轴为始边做两个锐角 $α, β$ ，它们的终边分别与单位圆相交于 $A, B$ 两点，已知 $A, B$ 的横坐标分别为 $\frac{\sqrt{2}}{10}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

（1）求 $\tan (α + β)$ 的值；

（2）求 $α + 2 β$ 的值.

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