设平面直角坐标系 $xoy$中，设二次函数 $f\left(x\right)=x^2+2x+b(x\in R)$的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 $C$。
（1）求实数 $b$的取值范围；
（2）求圆 $C$的方程；
（3）问圆 $C$是否经过某定点（其坐标与 $b$无关）？请证明你的结论。