已知椭圆经过点，其离心率为，设直线与椭圆相交于两点．（Ⅰ）求

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知椭圆经过点，其离心率为，设直线与椭圆相交于两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线与圆相切，求证：（为坐标原点）；
（Ⅲ）以线段为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，且满足（为坐标原点），求实数的取值范围．

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如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = \frac{π}{2}$ , $A B = B C = 2$ , $P$ 为 $A B$ 边上一动点， $P D / / B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ,现将 $△ P D A$ 沿 $P D$ 翻折至 $△ P D A `$ ,使平面 $P D A ` ⊥ 平面 P B C D$ .

（1）当棱锥 $A ` - P B C D$ 的体积最大时，求 $P A$ 的长；
（2）若点 $P$ 为 $A B$ 的中点，E为 $A C `$ 的中点，求证： $A ` B ⊥ D E$ .

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在 $△ A B C$ 中， $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $3 a \cos A = c \cos B + b \cos C$ .
（1）求 $\cos A$ 的值；
(2)若 $a = 1, \cos B + \cos C = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求边 $c$ 的值．

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某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共 $5$ 杯，其颜色完全相同，并且其中 $3$ 杯为 $A$ 饮料，另外 $2$ 杯为 $B$ 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从 $5$ 杯饮料中选出 $3$ 杯 $A$ 饮料．若该员工 $3$ 杯都选对，则评为优秀；若3杯选对 $2$ 杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
（1）求此人被评为优秀的概率；
（2）求此人被评为良好及以上的概率．

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（1）如图，对于任一给定的四面体 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ ，找出依次排列的四个相互平行的平面 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ ，使得 $A_{i} \in α_{i}$ （ $i$ =1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ ，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ 的四个顶点满足： $A_{i} \in α_{i}$ （ $i$ =1,2,3,4），求该正四面体 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ 的体积.

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$P (x_{0}, y_{0}) (x_{0} \neq \pm a)$ 是双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上一点， $M, N$ 分别是双曲线 $E$ 的左、右定点，直线 $P M, P N$ 的斜率之积为 $\frac{1}{5}$ .
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线 $E$ 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点， $C$ 为双曲线上的一点，满足 $\overset{⇀}{O C} = λ \overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B}$ ，求 $λ$ 的值.

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