如图，D,E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△AB

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，D,E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合，已知AE的长为m，AC的长为n，AD,AB关于x的方程的两个根.

（Ⅰ）证明：C、B、D、E四点共圆；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C、B、D、E所在圆的半径.

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设 $a$ 为实数，函数 $f (x) = e^{x} - 2 x + 2 a, x \in R$ 。
(Ⅰ)求 $f (x)$ 的单调区间与极值；
(Ⅱ)求证：当 $a > \ln 2 - 1$ 且 $x > 0$ 时， $e^{x} > x^{2} - 2 a x + 1$ 。

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(Ⅰ)求角 $A$ 的值；

(Ⅱ)若 $\overset{⇀}{A B \cdot} \overset{⇀}{A C} = 12$ , $a = 2 \sqrt{7}$ ，求 $b, c$ (其中 $b < c$ )．

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已知 $∆ A B C$ 的三边长为有理数
（1）求证 $\cos A$ 是有理数;
（2）对任意正整数 $n$ ,求证 $\cos n A$ 也是有理数.

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（1）记 $X$ 单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求 $X$ 的分布列.
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率

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（2）矩阵与变换
在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (0, 0), B (- 3, 0), C (- 2, - 1)$ ,设 $k \neq 0, k \in R$ ， $M = [\begin{matrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}], N = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ ,点 $A, B, C$ 在矩阵 $M N$ 对应的变换下得到点 $A_{1}, B_{1}, C_{1}, △ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积是 $△ A B C$ 面积的2倍，求实数 $k$ 的值
（3）参数方程与极坐标
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（4）不等式证明选讲
已知实数 $a, b \geq 0$ ，求证： $a^{3} + b^{3} \geq \sqrt{a b} (a^{2} + b^{2})$ .

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