列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=pSn+q(p,q为常数,n∈N*),a1=2,a2=1,a3=q-3p.(1)求p,q的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)是否存在正整数m,n,使成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对(m,n);若不存在,说明理由.
为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中微量元素 x , y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:
(1)已知甲厂生产的产品共98件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x , y 满足 x ≥ 175 且 y ≥ 75 ,该产品为优等品,用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数 ξ 的分布列极其均值(即数学期望)。
已知函数 f ( x ) = 2 sin ( 1 3 x - π 6 ) , x ∈ R .
(1)求 f ( 5 π 4 ) 的值;
(2)设 α , β ∈ [ 0 , π 2 ] , f ( 3 α + π 2 ) = 10 13 , f ( 3 β + 2 π ) = 6 5 ,求 cos ( α + β ) 的值.
(Ⅰ)设函数 f x = ln 1 + x - 2 x x + 2 ,证明:当 x > 0 时, f x > 0
(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取 20 次,设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p ,证明: p < 9 10 19 < 1 e 2
已知 O 为坐标原点, F 为椭圆 C : x 2 + y 2 2 = 1 在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为 - 2 的直线 l 与交 C 于 A , B 两点,点 P 满足 O A ⇀ + O B ⇀ + O P ⇀ = 0 ⇀ .
(Ⅰ)证明:点 P 在 C 上;
(Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q ,证明: A , P , B , Q 四点在同一个圆上.
设数列 a n 满足 a 1 = 0 , 1 1 - a n + 1 - 1 1 - a n = 1
(Ⅰ)求 a n 的通项公式; (Ⅱ)设 b n = 1 - a n + 1 n ,记 S n = ∑ k = 1 n b k ,证明: S n < 1 .