已知点P（x0，y0）和直线ykxb，则点P到直线ykxb的_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知点P（x₀，y₀）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式计算．
例如：求点P（﹣2，1）到直线y=x+1的距离．
解：因为直线y=x+1可变形为x﹣y+1=0，其中k=1，b=1．
所以点P（﹣2，1）到直线y=x+1的距离为．
根据以上材料，求：
（1）点P（1，1）到直线y=3x﹣2的距离，并说明点P与直线的位置关系；
（2）点P（2，﹣1）到直线y=2x﹣1的距离；
（3）已知直线y=﹣x+1与y=﹣x+3平行，求这两条直线的距离．

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请阅读以下材料：已知向量 $\vec{a} = (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}$ ， $y_{2})$ 满足下列条件：

① $| \vec{a} | = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}$

② $\vec{a} \otimes \vec{b} = | \vec{a} | \times | \vec{b} | \cos α$ （角 $α$ 的取值范围是 $0 ° < α < 90 °)$ ；

③ $\vec{a} \otimes \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

利用上述所给条件解答问题：

如：已知 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (- \sqrt{3}$ ， $3)$ ，求角 $α$ 的大小；

解： $∵ | \vec{a} | = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} = \sqrt{1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}} = 2$ ，

$\vec{b} = \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}} = \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$

$∴ \vec{a} \otimes \vec{b} = | \vec{a} | \times | \vec{b} | \cos α = 2 \times 2 \sqrt{3} \cos α = 4 \sqrt{3} \cos α$

又 $∵ \vec{a} \otimes \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 1 \times (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \times 3 = 2 \sqrt{3}$

$∴ 4 \sqrt{3} \cos α = 2 \sqrt{3}$

$∴ \cos α = \frac{1}{2}$ ， $∴ α = 60 °$

$∴$ 角 $α$ 的值为 $60 °$ ．

请仿照以上解答过程，完成下列问题：

已知 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，求角 $α$ 的大小．

题型：未知
难度：未知

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如图，过 $⊙ O$ 外一点 $P$ 作 $⊙ O$ 的切线 $PA$ 切 $⊙ O$ 于点 $A$ ，连接 $PO$ 并延长，与 $⊙ O$ 交于 $C$ 、 $D$ 两点， $M$ 是半圆 $CD$ 的中点，连接 $AM$ 交 $CD$ 于点 $N$ ，连接 $AC$ 、 $CM$ ．

（1）求证： $C M^{2} = MN \cdot MA$ ；

（2）若 $∠ P = 30 °$ ， $PC = 2$ ，求 $CM$ 的长．

题型：未知
难度：未知

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如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象交于第二、四象限 $A$ 、 $B$ 两点，过点 $A$ 作 $AD ⊥ x$ 轴于 $D$ ， $AD = 4$ ， $\sin ∠ AOD = \frac{4}{5}$ ，且点 $B$ 的坐标为 $(n, - 2)$ ．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2） $E$ 是 $y$ 轴上一点，且 $ΔAOE$ 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 $E$ 点坐标．

题型：未知
难度：未知

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已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + a = 0$ 的两实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} > 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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如图，在 $▱ ABCD$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $AD$ ， $BC$ 上的点，且 $DE = BF$ ， $AC ⊥ EF$ ．求证：四边形 $AECF$ 是菱形．

题型：未知
难度：未知

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