某校举行综合知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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某校举行综合知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有6次答题的机会，选手累计答对4题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对4题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答题连续两次答错的概率为（已知甲回答每道题的正确率相同，并且相互之间没有影响）.
（Ⅰ）求选手甲回答一个问题的正确率；
（Ⅱ）求选手甲可以进入决赛的概率.

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已知直线 $C_{1} : {\begin{matrix} x = 1 + t \cos a \\ y = t \sin a \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）， $C_{2} : {\begin{matrix} x = \cos θ \\ y = \sin θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），
（Ⅰ）当 $a = \frac{π}{3}$ 时，求 $C_{1_{}}$ 与 $C_{2}$ 的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点 $O$ 做 $C_{1_{}}$ 的垂线，垂足为 $P$ ， $P$ 为 $O A$ 中点，当 $a$ 变化时，求 $P$ 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.

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（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由.
附：

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