已知函数f(x)＝－x³＋ax²＋1(a∈R)．
(1)若函数y＝f(x)在区间上递增，在区间上递减，求a的值；
(2)当x∈[0,1]时，设函数y＝f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a∈，求的取值范围；
(3)在(1)的条件下，是否存在实数m，使得函数g(x)＝x⁴－5x³＋(2－m)x²＋1(m∈R)的图象与函数y＝f(x)的图象恰有三个交点．若存在，求实数m的取值范围；若不存在，试说明理由．