已知函数 $f\left(x\right)=x^3+3\left|x-a\right|(a>0)$，若 $f\left(x\right)$在 $[-1,1]$上的最小值记为 $g\left(a\right)$.
（1）求 $g\left(a\right)$；
（2）证明：当 $x\in [-1,1]$时，恒有 $f\left(x\right)\le g\left(a\right)+4$.