已知在数列{}中，（1）求证：数列{}是等比数列，并求出数列

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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挑错有奖

已知在数列{}中，
（1）求证：数列{}是等比数列，并求出数列{}的通项公式；
（2）设数列{}的前竹项和为S_n，求S_n．

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为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2）能否有 $99 %$ 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由.
附：

题型：未知
难度：未知

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如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为等腰梯形， $A B / / C D, A C ⊥ B D$ ，垂足为 $H$ ， $P H$ 是四棱锥的高， $E$ 为 $A D$ 中点.
（1）证明： $P E ⊥ B C$ ;

（2）若 $∠ A P B = ∠ A D B = 60^{°}$ ，求直线 $P A$ 与平面 $P E H$ 所成角的正弦值.

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题型：未知
难度：未知

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设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} - a_{n} = 3 \times 2^{2 n - 1}$

（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（2）令 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

题型：未知
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已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{2} + a x + b$ 的图像在点 $P (0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = 3 x - 2$ .
（Ⅰ）求实数 $a, b$ 的值；
（Ⅱ）设 $y^{2} = 4 x (- 2)^{2} = 2 p x, x = - 1, g (x) = f (x) + \frac{m}{x - 1}$ 是 $[2, + \infty)$ 上的增函数.
（ⅰ）求实数 $m$ 的最大值；
（ⅱ）当 $m$ 取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线能与曲线 $y = g (x)$ 围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

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某港口 $O$ 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的 $O$ 北偏西30°且与该港口相距20海里的 $A$ 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 $v$ 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 $t$ 小时与轮船相遇.
（I）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（II）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
（III)是否存在 $v$ ，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由.

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