已知曲线的直角坐标方程为.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知曲线的直角坐标方程为. 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. P是曲线上一点，，，将点P绕点O逆时针旋转角后得到点Q，，点M的轨迹是曲线.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）求的取值范围.

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如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ,离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ .点 $P$ 为直线 $l$ ： $x + y = 2$ 上且不在 $x$ 轴上的任意一点,直线 $P F_{1}$ 和 $P F_{2}$ 与椭圆的交点分别为 $A, B$ 和 $C, D$ . $O$ 为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线 $P F_{1}, P F_{2}$ 斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ .
（ⅰ）证明： $\frac{1}{k_{1}} - \frac{3}{k_{2}} = 2$

（ⅱ)问直线 $l$ 上是否存在一点 $P$ ,使直线 $O A, O B, O C, O D$ 的斜率 $k_{O A}, k_{O B}, k_{O C}, k_{O D}$ 满足 $k_{O A} + k_{O B} + k_{O C} + k_{O D = 0}$ ？若存在，求出所有满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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已知函数 $f (x) = \ln x - a x + \frac{1 - a}{x} - 1 (a \in R)$

(Ⅰ)当 $当 a = - 1 时，求曲线 y = f (x) 在点 (2 ， f (2)) 处的切线方程$

(Ⅱ)当 $a \leq \frac{1}{2}$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性.

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在如图所示的几何体中,四边形 $A B C D$ 是正方形, $M A$ $⊥$ 平面 $A B C D$ , $P D ∥ M A, E 、 G 、 F$ 分别为 $M B 、 P B 、 P C$ 的中点,且 $A D = P D = 2 M A$ .

(Ⅰ)求证:平面 $E F G ⊥$ 平面 $P D C$ ;
(Ⅱ)求三棱锥 $P - M A B$ 与四棱锥 $P - A B C D$ 的体积之比.

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一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 $1, 2, 3, 4$ ，
（Ⅰ）从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于 $4$ 的概率；
（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为 $m$ ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 $n$ ，求 $n < m + 2$ 的概率。

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已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{3} = 7, a_{3} + a_{7} = 26$ . ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .

（Ⅰ）求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$ ；
（Ⅱ）令 $b_{n} = \frac{1}{{a_{n}}^{2} - 1} (n \in N^{+})$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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