如图,已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 过点 1 , 2 2 ,离心率为 2 2 ,左右焦点分别为 F 1 , F 2 .点 P 为直线 l : x + y = 2 上且不在 x 轴上的任意一点,直线 P F 1 和 P F 2 与椭圆的交点分别为 A , B 和 C , D . O 为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设直线 P F 1 , P F 2 斜率分别为 k 1 , k 2 . (ⅰ)证明: 1 k 1 - 3 k 2 = 2
(ⅱ)问直线 l 上是否存在一点 P ,使直线 O A , O B , O C , O D 的斜率 k O A , k O B , k O C , k O D 满足 k O A + k O B + k O C + k O D = 0 ?若存在,求出所有满足条件的点 P 的坐标;若不存在,说明理由.
已知函数若函数在和上是增函数,在是减函数,求的值;讨论函数的单调递减区间;如果存在,使函数,,在处取得最小值,试求的最大值.
在矩形ABCD中,|AB|=2,|AD|=2,E、F、G、H分别为矩形四条边的中点,以HF、GE所在直线分别为x,y轴建立直角坐标系(如图所示).若R、R′分别在线段0F、CF上,且. (Ⅰ)求证:直线ER与GR′的交点P在椭圆:+=1上; (Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点,且直线GM与直线GN的斜率之积为,求证:直线MN过定点.
数列{an}是公比为的等比数列,且1-a2是a1与1+a3的等比中项,前n项和为Sn;数列{bn}是等差数列,b1=8,其前n项和Tn满足Tn=n·bn+1(为常数,且≠1). (I)求数列{an}的通项公式及的值; (Ⅱ)比较+++ +与Sn的大小.
如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C丄平面ABCD,且AB=BC=CA=,AD=CD=1.求证:BD⊥AA1;若四边形是菱形,且,求四棱柱的体积.
已知向量,设函数.求的最小正周期与单调递增区间;在中,分别是角的对边,若,,的面积为,求的值.