在平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$C:\frac{x^2}{3}+y^2=1$．如图所示，斜率为$k\left(k>0\right)$且不过原点的直线$l$交椭圆$C$于$A$，$B$两点，线段$AB$的中点为$E$，射线$OE$交椭圆$C$于点$G$，交直线$x=-3$于点$D\left(-3,m\right)$．
（1）求$m^2+k^2$的最小值；
（2）若${\left|OG\right|}^2=\left|OD\right|·\left|OE\right|$

（i）求证：直线$l$过定点；
（ii）试问点$B,G$能否关于$x$轴对称？若能，求出此时$△ABG$的外接圆方程；若不能，请说明理由．