如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点．

（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求二面角A₁－BD－A的大小；
（3）求直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值．

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如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中，平面 $A B C ⊥$ $平面 B C D E$ , $∠ C D E = ∠ B E D = 90 °$ , $A B = C D = 2$ , $D E = B E = 1$ . $A C = \sqrt{2}$ .

（1）证明： $D E ⊥ 平面 A C D$ ;
（2）求二面角 $B - A D - E$ 的大小

题型：未知
难度：未知

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已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} a_{2} \dots a_{n} = {(\sqrt{2})}^{b_{n}} (n \in N^{+})$ .若 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，且 $a_{1} = 2, b_{3} = 6 + b_{2}$

（1）求 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ ；
（2）设 $c_{n} = \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{b_{n}} (n \in N^{+})$ 。记数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .
（i）求 $S_{n}$ ；
（ii）求正整数 $k$ ，使得对任意 $n \in N^{+}$ ，均有 $S_{K} \geq S_{n}$ ．

题型：未知
难度：未知

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在 $∆ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $a \neq b, c = \sqrt{3}, \cos^{2} A - \cos^{2} B = \sqrt{3} \sin A \cos A - \sqrt{3} \sin B \cos B$ .

（1）求角 $C$ 的大小；
（2）若 $\sin A = \frac{4}{5}$ ，求 $∆ A B C$ 的面积.

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x) = x - a e^{x} (a \in R), x \in R$ ．已知函数 $y = f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ．
（1）求 $a$ 的取值范围；
（2）证明 $\frac{x_{2}}{x_{1}}$ 随着 $a$ 的减小而增大；
（3）证明 $x_{1} + x_{2}$ 随着 $a$ 的减小而增大．

题型：未知
难度：未知

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已知 $q$ 和 $n$ 均为给定的大于1的自然数，设集合 $M = {0, 1, 2, \dots, q - 1}$ ，集合 $A = {x | x = x_{1} + x_{2} q + \dots + x_{n} q_{n} ﹣ 1 ， x_{i} \in M, i = 1, 2, \dots n}$ .

（Ⅰ）当 $q = 2, n = 3$ 时，用列举法表示集合 $A$ ；

（Ⅱ）设 $s, t \in A$ ， $s = a_{1} + a_{2} q + \dots + a_{n} q^{n ﹣ 1}, t = b_{1} + b_{2} q + \dots + b_{n} q^{n ﹣ 1}$ ，其中 $a_{i}, b_{i} \in M$ ， $i = 1, 2, . . ., n$ .证明：若 $a_{n} ＜ b_{n}$ ，则 $s < t$ .

题型：未知
难度：未知

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