已知,, 且,, 求的值.
如图,在平面直角坐标系 x O y 中, M , N 分别是椭圆 x 2 4 + y 2 2 = 1 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P , A 两点,其中 P 在第一象限.过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C .连接 A C ,并延长交椭圆于点 B .设直线 P A 的斜率为 k . (Ⅰ)当直线 P A 平分线段 M N 时,求 k 的值; (Ⅱ)当 k = 2 时,求点 P 到直线 A B 的距离; (Ⅲ)对任意 k > 0 ,求证: P A ⊥ P B .
请你设计一个包装盒,如图所示, A B C D 是边长为60 c m 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A B C D 四个点重合于图中的点 P ,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒, E , F 在 A B 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设 A E = F B = x c m .
(1)若广告商要求包装盒侧面积 S ( c m 2 ) 最大,试问 x 应取何值? (2)若广告商要求包装盒容积 V ( c m 3 ) 最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
如图,在四棱锥 P - A B C D 中,平面 P A D ⊥ 平面 A B C D , A B = A D , ∠ B A D = 60 ° , E , F 分别是 A P , A D 的中点. 求证:(1)直线 E F / / 平面 P C D ; (2)平面 B E F ⊥ 平面 P A D .
在 △ A B C 中,角 A , B , C 所对应的边为 a , b , c
(1)若 sin ( A + π 6 ) = 2 cos A ,求 A 的值; (2)若 cos A = 1 3 , b = 3 c ,求 sin C 的值.
在平面直角坐标系 x O y 上,给定抛物线 L : y = 1 4 x 2 .实数 p , q 满足 p 2 - 4 q ≥ 0 , x 1 , x 2 是方程 x 2 - p x + q = 0 的两根,记 φ ( p , q ) = m a x x 1 , x 2
(1)过点 A ( p 0 , 1 4 p 0 2 ) ( p 0 ≠ 0 ) 作 L 的切线教 y 轴于点 B .证明:对线段 A B 上任一点 Q ( p , q ) 有 φ ( p , q ) = p 0 2 ;
(2)设 M ( a , b ) 是定点,其中 a , b 满足 a 2 - 4 b > 0 , a ≠ 0 .过 M ( a , b ) 作 L 的两条切线 l 1 , l 2 ,切点分别为 E p 1 , 1 4 p 1 2 , E ` p 2 , 1 4 p 2 2 l 1 , l 2 与y轴分别交与 F , F ` .线段 E F 上异于两端点的点集记为 X .证明: M ( a , b ) ∈ X ⇔ P 1 > P 2 ⇔ φ ( a , b ) = p 1 2 ;
(3)设 D = ( x , y ) | y ≤ x - 1 , y ≥ 1 4 ( x + 1 ) 2 - 5 4 .当点 ( p , q ) 取遍 D 时,求 φ ( p , q ) 的最小值 (记为 φ m i n )和最大值(记为 φ m a x ).