某工艺厂开发一种新工艺品，头两天试制中，该厂要求每位师傅每天

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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某工艺厂开发一种新工艺品，头两天试制中，该厂要求每位师傅每天制作10件，该厂质检部每天从每位师傅制作的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天该师傅的产品不能通过．已知李师傅第一天、第二天制作的工艺品中分别有2件、1件次品．
(1)求两天中李师傅的产品全部通过检查的概率；
(2)若厂内对师傅们制作的工艺品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分，求李师傅在这两天内得分的数学期望．

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设函数 $f (x) = \ln (x + 1) + a (x^{2} - x)$ ，其中 $a \in R$ .
（Ⅰ）讨论函数 $f (x)$ 极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若 $\forall x > 0, f (x) \geq 0$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

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平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，以 $F_{1}$ 为圆心以3为半径的圆与以 $F_{2}$ 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆 $C$ 上.
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设椭圆 $E : \frac{x^{2}}{4 a^{2}} + \frac{y^{2}}{4 b^{2}} = 1$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上任意一点，过点 $P$ 的直线 $y = k x + m$ 交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点，射线 $P O$ 交椭圆 $E$ 于点 $Q$ .
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（Ⅱ）求 $△ A B Q$ 面积的最大值.

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（Ⅰ）写出所有个位数字是5的"三位递增数" ；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分 $X$ 的分布列和数学期望 $E X$ .

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设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .已知 $2 S_{n} = 3^{n} + 3$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} b_{n} = \log_{3} a_{n}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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如图，在三棱台 $D E F - A B C$ 中， $A B = 2 D E, G, H$ 分别为 $A C, B C$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $B D / /$ 平面 $F G H$ ；
（Ⅱ）若 $C F ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C, C F = D E$ , $∠ B A C = 45^{°}$ ,求平面 $F G H$ 与平面 $A C F D$ 所成的角（锐角）的大小.

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