如图，四棱锥中,面，、分别为、的中点，.（1）证明：∥面；（

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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如图，四棱锥中,面，、分别为、的中点，.

（1）证明：∥面；
（2）证明：

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已知三点 $O (0, 0), A (- 2, 1), B (2, 1)$ ，曲线 $C$ 上任意一点 $M (x, y)$ 满足 $\overset{⇀}{M A} + \overset{⇀}{M B} = \overset{⇀}{O M} \cdot (\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B}) + 2$ .
（1）求曲线 $C$ 的方程；
（2）动点 $Q (x_{0}, y_{0}) (- 2 ＜ x_{0} ＜ 2)$ 在曲线 $C$ 上，曲线 $C$ 在点 $Q$ 处的切线为 $1$ ，问：是否存在定点 $P (0, t) (t < 0)$ ，使得 $1$ 与 $P A, P B$ 都不相交，交点分别为 $D, E$ ，且 $△ Q A B$ 与 $△ P D E$ 的面积之比是常数？若存在，求 $t$ 的值。若不存在，说明理由。

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（1）证明在侧棱 $A A_{1}$ 上存在一点 $E$ ，使得 $O E ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ，并求出 $A E$ 的长；
（2）求平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 夹角的余弦值。

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如图，从 $A_{1}$ （1,0,0）， $A_{2}$ （2,0,0）， $B_{1}$ （0，2，0）， $B_{2}$ （0,2,0）， $C_{1}$ （0,0,1）， $C_{2}$ （0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点 $O$ 两两相连构成一个"立体"，记该"立体"的体积为随机变量 $V$ （如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时"立体"的体积 $V = 0$ ）。

（1）求 $V = 0$ 的概率；
（2）求 $V$ 的分布列及数学期望。

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在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .已知， $A = \frac{π}{4}, b \sin (\frac{π}{4} + C) - c \sin (\frac{π}{4} + B) = a$ .
（1）求证： $B - C = \frac{π}{2}$ ;

（2）若 $a = \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = - \frac{1}{2} n^{2} + k n (k \in N^{*})$ ,且 $S_{n}$ 的最大值为8.
（1）确定常数 $k$ ，求 $a_{n}$ ；
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