已知A，B，C是椭圆W：＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点．

已知A，B，C是椭圆W：＋y²＝1上的三个点，O是坐标原点．
(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．

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如图，直棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D, E$ 分别是 $A B, B B_{1}$ 的中点， $A A_{1} = A C = C B = \frac{\sqrt{2}}{2} A B$ .

（Ⅰ）证明： $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} C D$ ；
（Ⅱ）求二面角 $D - A_{1} C - E$ 的正弦值.

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$△ A B C$ 在内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = b \cos C + c \sin B$ .
（Ⅰ）求 $B$ ；
（Ⅱ）若 $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ 离心率为直线 $y = 2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$

（I）求 $a, b$ ；
（II）设过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别相交有 $A, B$ 两点，且 $|A F_{2}| - |B F_{1}|$ 证明： $|A F_{2}|, |A B|, |B F_{2}|$ 成等比数列

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已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + 3 x + 1$ .

（I）当 $a = - \sqrt{2}$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；
（II）若 $x \in [2, + \infty)$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ 各局比赛的结果都相互独立，第局甲当裁判.
（I）求第局甲当裁判的概率；
（II）求前局中乙恰好当次裁判概率.

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