已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$离心率为直线 $y=2$与 $C$的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$

（I）求 $a,b$；
（II）设过 $F_2$的直线 $l$与 $C$的左、右两支分别相交有 $A,B$两点，且 $\left|A{F}_2\right|-\left|B{F}_1\right|$证明： $\left|A{F}_2\right|,\left|AB\right|,\left|B{F}_2\right|$成等比数列