已知AC是菱形ABCD的对角线,∠BAC60°,点E是直线B

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知AC是菱形ABCD的对角线,∠BAC=60°,点E是直线BC上的一个动点,连接AE,以AE为边作菱形AEFG,并且使∠EAG=60°,连接CG,当点E在线段BC上时(如图1)易证：AB=CG+CE.

（1）当点在E线段BC的延长线上时(如图2),猜想AB、CG、CE之间的关系并证明；

（2）当点在E线段CB的延长线上时(如图3),猜想AB、CG、CE之间的关系.

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如果一个自然数 $M$ 的个位数字不为0，且能分解成 $A \times B$ ，其中 $A$ 与 $B$ 都是两位数， $A$ 与 $B$ 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数 $M$ 为"合和数"，并把数 $M$ 分解成 $M = A \times B$ 的过程，称为"合分解"．

例如 $∵ 609 = 21 \times 29$ ，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，

$∴ 609$ 是"合和数"．

又如 $∵ 234 = 18 \times 13$ ，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，

$∴ 234$ 不是"合和数"．

（1）判断168，621是否是"合和数"？并说明理由；

（2）把一个四位"合和数" $M$ 进行"合分解"，即 $M = A \times B$ ． $A$ 的各个数位数字之和与 $B$ 的各个数位数字之和的和记为 $P (M)$ ； $A$ 的各个数位数字之和与 $B$ 的各个数位数字之和的差的绝对值记为 $Q (M)$ ．令 $G (M) = \frac{P (M)}{Q (M)}$ ，当 $G (M)$ 能被4整除时，求出所有满足条件的 $M$ ．

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某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产 $A$ 产品，乙车间生产 $B$ 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知 $A$ 产品的销售单价比 $B$ 产品的销售单价高100元，1件 $A$ 产品与1件 $B$ 产品售价和为500元．

（1） $A$ 、 $B$ 两种产品的销售单价分别是多少元？

（2）随着 $5 G$ 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制 $B$ 产品的生产车间．预计 $A$ 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加 $a %$ ； $B$ 产品产量将在去年的基础上减少 $a %$ ，但 $B$ 产品的销售单价将提高 $3 a %$ ．则今年 $A$ 、 $B$ 两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加 $\frac{29}{25} a %$ ．求 $a$ 的值．

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在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数 $y = \frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 1}$ 的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；

$x$	$\dots$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$y = \frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 1}$	$\dots$	$- \frac{21}{26}$	$- \frac{12}{17}$	$- \frac{1}{2}$	0	$\frac{3}{2}$	4	$\frac{3}{2}$	0				$\dots$

（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的 $" D$ 条性质；

（3）已知函数 $y = - \frac{3}{2} x + 3$ 的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式 $- \frac{3}{2} x + 3 > \frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 1}$ 的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过 $0.2)$

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如图，在 $▱ ABCD$ 中， AB $>$ AD．

（1）用尺规完成以下基本作图：在 AB上截取 AE，使得 AE= AD；作∠ BCD的平分线交 AB于点 F．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，连接 DE交 CF于点 P，猜想△ CDP按角分类的类型，并证明你的结论．

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"惜餐为荣，殄物为耻"，为了解落实"光盘行动"的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据（单位： $kg)$ ，进行整理和分析（餐厨垃圾质量用 $x$ 表示，共分为四个等级： $A$ ． $x < 1$ ， $B . 1 ⩽ x < 1.5$ ， $C . 1.5 ⩽ x < 2$ ， $D$ ． $x ⩾ 2)$ ，下面给出了部分信息．

七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3．

八年级10个班的餐厨垃圾质量中 $B$ 等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2．

七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表

年级	平均数	中位数	众数	方差	$A$ 等级所占百分比
七年级	1.3	1.1	$a$	0.26	$40 %$
八年级	1.3	$b$	1.0	0.23	$m %$

根据以上信息，解答下列问题：

（1）直接写出上述表中 $a$ ， $b$ ， $m$ 的值；

（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合 $A$ 等级的班级数；

（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的"光盘行动"，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．

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